DataCovariates <- read_excel("DataCovariates.xlsx")
gini <- read_excel("Distribution.xlsx")
DataTotal <-merge(gini, y=DataCovariates,
by.x="CODMUNI", by.y="Divipola", all.x=TRUE, all.y = TRUE)
mapColombia <-read_sf("Shape/Municipios_desercion.shp", , options = "ENCODING=UTF8") # 380 units
DataTotal <- merge(x=mapColombia, y=DataTotal,
by.x="mpio_cdpmp", by.y="CODMUNI", all.x=TRUE)Modelos geoestadísticos y procesos espaciales.
Modelo Espacial autoregresivo (SAR)
Bloque 1: Clase para pregrado
Introducción a la autocorrelación
Concepto: la autocorrelación refleja que valores cercanos espacial o temporalmente tienden a ser similares.
Temporal: precios de acciones, temperatura diaria,
Espacial: deforestación, crimen por vecindario.
Índice de Gini en Colombia
Autoregresión temporal vs espacial
| Aspecto | AR temporal | AR espacial |
|---|---|---|
| Variable dependiente | \(y_t\) | \(y_i\) |
| Dependencia | Tiempos anteriores: \(y_{t-1}, \ldots, y_{1}\) | Vecinos \(y_1, \ldots, y_{i-1}, y_{i+1}, \ldots, y_n\) |
| Fórmula básica | \(y_t = \sum_{j=1}^p \phi_j y_{t-j} + \epsilon_t\) | \(y_i = \rho\sum_{j=1}^n w_{ij}\times y_j + \epsilon_j\) |
| Interpretación | Persistencia temporal | Dependencia entre ubicaciones |
| Parámetros estructurales | Elección de \(p\) | Elección de \(w_{ij}\) |
Matriz de pesos \(\mathbf{W}\)
\[ \mathbf{W}=\begin{pmatrix} 0 & w_{12} & w_{13} & \cdots &w_{1n}\\ w_{21} & 0 & w_{23} & \cdots &w_{2n}\\ w_{31} & w_{32} & 0 &\cdots &w_{1n}\\ \vdots& \vdots & \vdots & \ddots &\vdots\\ w_{n1} & w_{n2} & w_{n3} & \cdots &0\\ \end{pmatrix} \]
Vecinos
Define qué observaciones son “vecinas”. Algunos ejemplos pueden ser:
Binaria: \(w_{ij} = 1\) si \(i\) y \(j\) son vecinos
Inversa a distancia: \(w_{ij} = 1/d_{ij}\)
Normalización: \(\sum_{i=1}^n w_{ij}=1\) facilita interpretación de \(\rho\)
Modelo SAR básico
\[ \mathbf{y} = \rho \pmb{W} \mathbf{y} + \mathbf{X}\boldsymbol{\beta} +\boldsymbol{\epsilon} \]
Donde \(\mathbf{y}\) es el vector \(n \times 1\) de las variables dependientes de interés, \(\mathbf{X}\) es una matriz \(n \times k\) de variables explicativas con coeficientes asociados \(\boldsymbol{\beta}\)
Es un modelo lineal “clásico”
\[ \mathbf{y}-\rho \pmb{W} \mathbf{y} = \mathbf{X}\boldsymbol{\beta} +\boldsymbol{\epsilon} \]
\[ \mathbf{Ay} = \mathbf{X}\boldsymbol{\beta} +\boldsymbol{\epsilon} \]
\[ \mathbf{y} = \mathbf{A}^{-1}\mathbf{X}\boldsymbol{\beta} +\mathbf{A}^{-1}\boldsymbol{\epsilon} \]
Tarea
Demuestra que si \(\vert \rho \vert<1\) entonces \(\mathbf{A}^{-1}=\sum_{j=0}^\infty \rho^j\mathbf{W}^j\)
Estimación
Para obtener la función de verosimilitud:
La varianza de \(\mathbf{y}=\sigma^2\mathbf{A}^{-1}(\mathbf{A}^{-1})^\top\)
El termino \(\pmb{\epsilon}= \mathbf{Ay} - \mathbf{X}\boldsymbol{\beta}\) nos permite construir la verosimilitud.
\[ L(\pmb{\beta}, \rho, \sigma^2)=(2\pi)^{-\frac{n}{2}}\vert \mathbf{A}\vert\exp\left(-\frac{1}{2}\pmb{\epsilon}^\top\pmb{\epsilon} \right) \]
\[ \ell(\pmb{\beta}, \rho, \sigma^2)=-\frac{n}{2}\ln(2\pi)+\ln\vert \mathbf{A}\vert-\frac{1}{2}\pmb{\epsilon}^\top\pmb{\epsilon} \]
\[ \frac{\partial{\ell}}{\partial\boldsymbol{\beta}}=\pmb{\epsilon}^{\top}\mathbf{X}, \; \frac{\partial{\ell}}{\partial\rho}=-\mbox{tr} (\mathbf{A}^{-1} \mathbf{W})+\pmb{\epsilon}^{\top}\mathbf{W} \mathbf{y} \]
Estimación
OLS
\(\hat{\pmb{\beta}}\) es un estimador de mínimos cuadrados “ordinarios” si \(\rho\) es conocido.
\[ \hat{\boldsymbol{\beta}}=\left(\mathbf{X}^{\top}\mathbf{X}\right)^{-1}\mathbf{X}^{\top}\mathbf{A}\mathbf{y} \]
\(\rho\)
Para estimar \(\rho\) no se tiene una solución exacta, pero se puede obtar por dos metodos:
- Scoring Fisher: \(\mathcal{I}_{{\rho}{\rho}}=\text{tr}(\mathbf{A}^{-1}\mathbf{W})^2+\text{tr}(\mathbf{W}\mathbf{A} ^{-1})^\top(\mathbf{W}\mathbf{A}^{-1})+(\mathbf{W}\mathbf{A}^{-1}\mathbf{X}\boldsymbol{\beta})(\mathbf{W}\mathbf{A}^{-1}\mathbf{X}\boldsymbol{\beta})\)
- Máximización directa \(\hat{\rho}=\mbox{argmax}_{\rho\in(-1,1)}\left(\ln\vert \mathbf{A}\vert-\frac{1}{2}\pmb{\epsilon}^\top\pmb{\epsilon}\right)\)
Tarea
Demuestra \(\mathcal{I}_{{\rho}{\rho}}\) está bien calculada, además que es positiva.
Propiedades de los estimadores
MLE
Los estimadores obtenidos por máxima verosimilitud son asintoticamente insesgados, consistentes y normales su los supuestos son ciertos(Theory of Point Estimation 1998). (Bivand, Millo, y Piras 2021a)
Sí el supuesto de normalidad no se cumple, (Lee 2004) demuestra que aún siguen siendo normales, pero su varianza asintotica cambia.
Sí el supuesto de homocedasticidad no se cumple, (Kelejian y Prucha 2010) encuentra un estimador robusto con mejor desempeño que el OLS usual. (Bivand, Millo, y Piras 2021b)
Sí se quiere modelar la varianza, (Toloza-Delgado, Melo, y Cruz 2025) permite estimar los componentes de varianza. (Cruz Gutierrez, Melo, y Toloza-Delgado 2025)
Precaución
Sí la linealidad no se cumple, “habemus problemas”
Índice de GINI en Colombia
Test de Moran
¿Existe correlación entre el índice de Gini de los municipios de Colombia? El índice de Moran se define como:
\[ I = \frac{n}{W_0 = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n w_{ij}} \frac{\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n w_{ij}(y_i-\bar{y})(y_j-\bar{y})}{\sum_{i=1}^n (y_i-\bar{y})^2} \]
Moran I test under randomisation
data: DataComplete$GINI
weights: cont.listw
n reduced by no-neighbour observations
Moran I statistic standard deviate = 25.887, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: greater
sample estimates:
Moran I statistic Expectation Variance
0.4821327991 -0.0009416196 0.0003482296 I de Moran
Modelo SAR
Tip
\(\mathbf{X}\): \(X_1\): un índice asociado al uso adecuado del suelo rural, \(X_2\): un índice de competitividad, \(X_3\): un índice de productividad, \(X_4\): el índice de fortaleza institucional, y \(X_5\): la tasa de homicidios por cada 100.000 habitantes.
HomSARAR <- lagsarlm(GINI~X1+X2+X3+X4+X5,
data=DataComplete,
listw =cont.listw,
zero.policy = T, )
summary(HomSARAR)
Call:lagsarlm(formula = GINI ~ X1 + X2 + X3 + X4 + X5, data = DataComplete,
listw = cont.listw, zero.policy = T)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-0.386793 -0.044820 0.001196 0.044232 0.363880
Type: lag
Regions with no neighbours included:
48 52 1056 1057 1064
Coefficients: (asymptotic standard errors)
Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
(Intercept) 3.1616e-01 2.1750e-02 14.5360 < 2.2e-16
X1 1.5794e-04 1.0652e-04 1.4828 0.1381207
X2 6.6176e-04 1.6934e-04 3.9079 9.311e-05
X3 2.3087e-03 2.2543e-04 10.2411 < 2.2e-16
X4 1.2595e-03 3.3620e-04 3.7464 0.0001794
X5 7.7680e-05 6.3971e-05 1.2143 0.2246350
Rho: 0.44054, LR test value: 268.94, p-value: < 2.22e-16
Asymptotic standard error: 0.026989
z-value: 16.323, p-value: < 2.22e-16
Wald statistic: 266.44, p-value: < 2.22e-16
Log likelihood: 1250.187 for lag model
ML residual variance (sigma squared): 0.0054194, (sigma: 0.073616)
Number of observations: 1068
Number of parameters estimated: 8
AIC: -2484.4, (AIC for lm: -2217.4)
LM test for residual autocorrelation
test value: 62.39, p-value: 2.7756e-15Siguiente clase
Análisis de los coeficientes de cada covariable \(X_j\).
Criterios de diagnóstico del modelo, residuales y AIC.
Predicción de valores fuera de la muestra.
Estimación robusta de \(\rho\) con la metodología de Kelejian y Prucha (2010).
Bloque 2: Plan Docente
Formación básica
Fundamentación
Básica y transversal: Estadística descriptiva, probabilidad para ingeniería, ciencias y sociales.
Fundamentos teóricos: Probabilidad y estadística en pregrado de estadística y matemáticas.
Aplicaciones: Muestreo y análisis de datos en biología y ciencias agrícolas.
Enfoque pedagógico: Rigor teórico + aplicaciones prácticas; metodologías activas y proyectos interdisciplinarios.
Soporte
- He dictado clases en diferentes programas de pregrado en la Universidad Nacional de Colombia, la Universitat de les Illes Balears y otras instituciones, fortaleciendo tanto la formación básica como la avanzada en estadística.
- He acompañado la dirección de trabajos de grado en áreas de matemáticas, estadística e ingeniería
Áreas avanzadas
Estadística avanzada
Diseño experimental para programas de estadística y áreas afines (agronomía, biología, ingeniería).
Estadística experimental y validación de escalas en maestría y especialización, con aplicaciones a problemáticas nacionales como Tuberculosis, seguridad y salud en el trabajo y enfermedades de transmisión sexual.
Aprendizaje de máquina y modelado en la nube, orientado a grandes volúmenes de datos y procesos de predicción.
Énfasis en el desarrollo de competencias analíticas sólidas, combinando teoría rigurosa con aplicaciones prácticas e interdisciplinarias.
Soporte
He dictado cursos en diversas maestrías y programas de posgrado en estadística y áreas afines.
He impartido formación especializada para corporaciones bancarias y otras instituciones del sector productivo.
He trabajado como consultor en el ICFES, en CALA y en otras entidades nacionales e internacionales.
Recursos didácticos
Material actualizado y libre acceso. Plataformas digitales (GitHub) con códigos y ejemplos.
- Estadística para Farmacia
- Aprendizaje de Máquina
- Estadística para Enfermería
- Aprendizaje de máquina
- Fundamentos de Estadística
Tip
Uso intensivo de software estadístico para análisis reproducible y aprendizaje práctico.
Resolución de problemas reales, aplicando estadística a situaciones concretas de distintas disciplinas.
Fomento de la interdisciplinariedad e innovación, promoviendo proyectos que integren teoría, datos y aplicación.
Adicionalmente
Importante
Coordiné durante un año la Maestría en Analítica de Datos de la Universidad Central, siendo uno de sus creadores.
He asesorado varias tesis en la Universidad como estadístico, apoyando investigación académica en distintas áreas.
Competencia multilingüe, lo que permite enseñar a estudiantes de distintos países o en programas internacionales.
Flexibilidad docente, adaptando contenidos y ejemplos según el idioma y contexto cultural.
Mayor alcance y visibilidad académica, especialmente para cursos de posgrado o colaboraciones internacionales.
He dirigido tesis de maestría en áreas diversas articulando investigación académica con problemáticas reales.
Bloque 2: Plan Investigativo
Tema y contexto
Tema: Modelación espacio-temporal de la deforestación municipal en Colombia
Enfoque: Estadístico robusto, econometría espacial y GAMLSS
Contexto: fenómeno multicausal, necesidad de análisis a nivel municipal
Preguntas de investigación
Nota
¿Cómo se distribuye espacial y temporalmente la deforestación?
¿Qué factores socioeconómicos e institucionales la explican?
¿Qué tan efectivos son los modelos clásicos frente a GSAR/GAMLSS?
¿Cómo manejar heterocedasticidad, no normalidad y correlación espacio-temporal?
Avances
Un preprint de estadística espacio temporal en revisión Cruz, Romero, y Melo (2025).
Una tesis de maestría dirigida sobre el tema en la Universidad Central, Desarrollo de un modelo predictivo con técnicas de inteligencia artificial que permita la identificación de municipios en riesgo de deforestación mediante la incorporación de variables socioeconómicas espaciales
Objetivo general
Objetivo
Desarrollar e implementar modelos estadísticos espacio-temporales robustos que permitan evaluar, explicar y predecir la deforestación municipal en Colombia, integrando metodologías avanzadas de econometría espacial y modelamiento estadístico.
- Integración de fuentes de datos:
- Cobertura boscosa anual (IDEAM), Factores de presión: agroindustria, cultivos ilícitos, vías
- Variables socioeconómicas: población rural, minería, conflictos, Información climática y presupuestal (CHIRPS, DANE, SECOP)
- Modelamiento espacio-temporal:
- SAR y SEM clásicos, SAR heterocedástico (GAMLSS)
- GSAR para conteos y proporciones no normales, Modelos semiparamétricos tipo GEE
Validación, resultados y plan de trabajo
- Validación cruzada espacial y comparación de escenarios
- Resultados esperados:
- Mapas de riesgo municipal
- Predicciones con incertidumbre
- Paquete en R y publicaciones científicas
- Plan de trabajo anual:
- Año 1: Recolección y análisis de datos
- Año 2: Desarrollo de modelos y validación
- Año 3: Difusión, mapas de riesgo y transferencia tecnológica
- Pertinencia institucional: integración docencia-investigación y fortalecimiento de estadística aplicada
Bloque 3: Proyección misional
Contribución a los fines misionales
- Contribuir a la unidad nacional y su vinculación internacional
- Mis proyectos sobre deforestación municipal generan conocimiento que puede ser aplicado en políticas públicas nacionales e integrarse en redes internacionales de investigación ambiental.
- Crear y asimilar críticamente el conocimiento
- Desarrollo de modelos SAR, GAMLSS y GSAR para análisis espacial avanzado, generando nuevo conocimiento metodológico aplicable a problemas reales de Colombia.
Contribución a los fines misionales
- Formar profesionales e investigadores con conciencia crítica
- Integración de teoría estadística, programación y análisis reproducible en pregrado y posgrado.
- Preparación de estudiantes para liderar investigaciones y proyectos de política ambiental.
- Estudiar y enriquecer el patrimonio natural y contribuir a su conservación
- Análisis espacial de deforestación que permite identificar zonas críticas y generar mapas de riesgo para la toma de decisiones ambientales.
Contribución a los fines misionales
- Propender por el desarrollo personal y académico de la comunidad
- Uso de metodologías activas, software libre y recursos abiertos para fortalecer capacidades analíticas y de investigación en estudiantes.
- Apoyo a la sociedad y al Estado
- Generación de herramientas estadísticas y mapas de riesgo que sirven para asesoría en políticas públicas y toma de decisiones en gestión ambiental.
- Fomentar la interdisciplinariedad y la cooperación
- Vinculación de estudiantes y grupos de investigación con proyectos interinstitucionales y redes académicas internacionales en estadística aplicada y medio ambiente.
Bibliografía
Azcarate-Romero, J. S., J. D. Toloza-Delgado, N. A. Cruz Gutierrez, y P. A. Mahecha. 2025. «Urban Spatial Analysis of the Profitability of Housing Rental in Bogotá». International Journal of Housing Markets and Analysis, agosto. https://doi.org/10.1108/ijhma-04-2025-0085.
Bivand, Roger, Giovanni Millo, y Gianfranco Piras. 2021b. «A Review of Software for Spatial Econometrics in R» 9. https://doi.org/10.3390/math9111276.
———. 2021a. «A Review of Software for Spatial Econometrics in R» 9. https://doi.org/10.3390/math9111276.
Cruz Gutierrez, Nelson Alirio, Oscar Orlando Melo, y Jurgen Toloza-Delgado. 2025. «Joint spatial modeling of mean and non-homogeneous variance combining semiparametric SAR and GAMLSS models for hedonic prices» 65: 100864. https://doi.org/10.1016/j.spasta.2024.100864.
Cruz, N. A., D. A. Romero, y O. O. Melo. 2025. «SAR models with specific spatial coefficients and heteroskedastic innovations». https://doi.org/10.48550/ARXIV.2502.15580.
Kelejian, Harry H., y Ingmar R. Prucha. 2010. «Specification and Estimation of Spatial Autoregressive Models with Autoregressive and Heteroskedastic Disturbances». Journal of Econometrics 157 (1): 53-67. https://doi.org/10.1016/j.jeconom.2009.10.025.
Lee, Lung-Fei. 2004. «Asymptotic Distributions of Quasi-Maximum Likelihood Estimators for Spatial Autoregressive Models». Econometrica 72 (6): 1899-1925. https://doi.org/10.1111/j.1468-0262.2004.00558.x.
Theory of Point Estimation. 1998. Springer-Verlag. https://doi.org/10.1007/b98854.
Tobar, A., A. Mir, R. Alberich, I. Garcia, M. Miró, y NA. Cruz. 2025. «Spatial disaggregation of time series». https://doi.org/10.48550/ARXIV.2509.04065.
Toloza-Delgado, J. D., O. O. Melo, y N. A. Cruz. 2025. «Joint Spatial Modeling of Mean and Non-Homogeneous Variance Combining Semiparametric SAR and GAMLSS Models for Hedonic Prices». Spatial Statistics 65 (marzo): 100864. https://doi.org/10.1016/j.spasta.2024.100864.